据中国激光杂志社网，于2023年8月16日报道， 标量衍射理论中，基于角谱衍射理论的快速傅里叶变换是较精确的衍射数值计算方法，然而，目前的计算理论还不完善。由于角谱衍射传递函数是模为1的复函数，计算平面的物理宽度是确定值，初始平面发出的许多高频角谱事实上不能到达计算平面，被错误传递的这部分角谱形成对衍射场的高频角谱干扰。
本文通过故事中虚拟人物彭颖对两年轻人衍射计算时遇到问题的解答，对角谱衍射数值计算理论进行补充和完善。
1 彭颖其人
彭颖曾是昆明理工大学光电信息工程专业的本科生，因学习成绩优异被保送到光学工程硕士点攻读硕士。她父亲曾是四川大学物理系的毕业生，出国留学后回四川大学任教。本来彭颖父母有让女儿考川大或成都电子工程大学光学专业的硕士生愿望，无奈女儿大学期间深知昆明理工大学在全息显示及数字全息研究领域别具特色，特别是在数字全息研究领域还与法国知名专家保持联合培养博士生的合作。她很想在昆工的硕士学业完成后，争取能够再到法国深造。当知道这种情况后，彭颖父母最终支持了女儿的选择。彭颖父亲还特别说道：“当年我在大学学习时，便知道昆明理工大学熊秉衡先生领导的团队在大景深全息拍摄方面取得非常出色的成果，现在，他们那里的数字全息研究又有很好的研究团队，你在那里不但可以很好学习，而且你老妈是‘老昆明’，常常抱怨成都夏天太热，今后热天我和你妈妈到昆明避暑，乘坐高铁不过几个小时。你在那里好好学习吧！”
作为二年级的研究生，彭颖在硕士生导师宋老师指导下攻读学位，她的研究方向是物体微形变的彩色数字全息对检测。新学期快开学了，为了能够较好地完成实验研究，不与师兄弟们的实验安排相冲突，她决定提前一周返回学校。
她从网上看到从成都到昆明的高铁十分方便，但到达昆明南火车站的时间较晚。于是，订购了海航旗下西部航空PN6390回昆明，这样可以在成都的天府国际机场中午起飞，下午两点前便到达昆明长水机场。她和家人商量后，很快订购了机票离开成都返回昆工。返回途中，彭颖接到尚进的感谢微信，尚进代表郝思以两人的名义对她在衍射计算理论方面给予的帮助表示感谢。
旅途很顺利，但让她没想到的是进入昆工大门后，没走多远便遇上师兄王超。
“小彭！回来了？”王超笑着走来，接下彭颖的双肩包。原来，这几天已经有几个师妹及师兄在指导老师的指导下在做实验了。
王超在送师妹回宿舍的路上告诉她：“今天是桂老师带着上学期刚进校的研究生熟悉实验室，我要到实验室配合桂老师向学生讲解实验注意事项。”
彭颖为了解是否能在近日安排她考虑的实验，在宿舍对行李稍作整理后，便也到了实验室。
两位师妹看到师姐后非常高兴。在学习交流间隙中，当桂老师从彭颖那里知道有两个好学的年轻人时，告诉她给尚进和郝思好好回复微信，对昆明理工大学在信息光学研究领域的工作进行一些介绍，希望他们今后能来昆工攻读学位。
2 彭颖给两位年轻人的微信
遵照桂老师的建议，彭颖给尚进回了下面的微信
小尚，你好！
我能够为你和你的师弟的学习有帮助，非常高兴，不用言谢！
我已经提前返回昆工，当我们的指导老师知道你和郝思在学习半波带法并自己琢磨出微波元法的学习精神后，让我向你们介绍一下昆明理工大学在信息光学研究领域的特色，如果今后你们有攻读研究生的愿望，昆工欢迎你们。
我本科就是在昆工的光电信息科学与工程专业学习的，昆工2021年获国家“一流本科专业”建设点。在学习期间我就知道昆工在全息显示、衍射计算及数字全息方面在国内外极有特色。昆工的熊秉衡及李俊昌两位老先生出版的《全息干涉计量——原理和方法》[1]以及《衍射计算及数字全息》[2]是较能代表昆工在该领域研究水平的专著。为适应研究生教学，昆工钱晓凡教授在科学出版社出版的《信息光学数字实验室》[3]是国内研究生教育“十二五”规划教材，是一部基于计算机技术将衍射数值计算用于模拟典型光学实验的研究生教学用书。这本教材较系统地介绍了大量得到实验证明的计算实例，受到国内研究生的广泛欢迎。基于该领域的国际合作，2012年李老师与法国数字全息专家P. Pascal教授先后在法国巴黎及英国伦敦知名科技出版社出版了法文及英文版的《数字全息》专著[4,5]。今年1月，我们光学点的张亚萍教授与美国学者潘定中（Ting-Chung Poon）教授在高等教育出版社合著出版《现代信息光学》[6]，该书与时俱进地介绍了许多信息光学新知识，显著拓宽了我们对现代信息光学的学习研究视野。
在物理光学研究领域中，衍射理论是最基础的理论，如果要定量描述实际问题，几乎都涉及到衍射计算。按照顾德门教授名著《傅里叶光学导论》所总结的标量衍射理论，衍射计算可以采用多种积分公式完成。由于实际的衍射问题几乎无解析解，必须借助于计算机作数值计算。长期以来，国内教材没有对此进行专门讨论。由于衍射数值计算理论的重要性，光学名著《傅里叶光学导论》第4版于2017年将其列为专门章节进行讨论[7]。
实际上，昆工李、熊两位老师2011年主编的《信息光学教程》[8]便从光传播的物理概念出发，对不同形式衍射积分进行研究，认真总结目前流行的计算方法，将衍射计算及数字全息分别列为单独的章节进行介绍。特别应该指出的是，2017年科学出版社出版的《信息光学教程》第2版[9]对目前国内外流行50多年的相干光成像的近似计算理论进行了补充和完善。我国《光学学报》及《激光与光电子学进展》还对与该成果的相关研究进行了报导[10-12]。
你们都是国内知名大学光学专业的大学生，随着你们学习内容的深入，相信你们都会看到上面我说到的昆工这几部专著、教材及研究论文。应该说，我在本科学习期间看到昆工近年来在信息光学研究领域取得的成果，才对在昆工继续攻读学位有了强烈的愿望。
现在，就我所知向你们简要介绍昆工在这几方面的研究工作。由于你们已经知道菲涅耳衍射积分公式的由来，下面的讲述应该能够理解。尽管许多知识是今后你们的课堂教学要学习的，我的讲述算是给你们的预习。
3 三维物体的传统全息拍摄及显示
你们都应该看到过全息图像。就我所知，上世纪国内拍摄全息图像水平较高的是北京邮电大学徐大雄院士团队及昆明理工大学的熊秉衡教授研究团队。图1为2009年李俊昌老师在北京邮电大学一次学术讲座后，北邮的桑新柱老师陪李老师参观北邮全息陈列室时，在一幅全息图下李老师在3个不同角度拍摄的全息图重现的假面具像。
由两组图像可知，从不同的视角能够看到物体的不同侧面。那么，为什么一幅全息图能显示出如此奇妙的三维图像呢？
和所有的近代光学理论或技术成果一样，全息技术是基于最基本的物理光学理论的学习和研究逐步形成的。下面，我就用你们已经熟悉的惠更斯-菲涅耳原理及菲涅耳衍射积分对全息图的拍摄及3D显示作定量描述。
为简明起见，我只讲单色光的全息图拍摄及物体的重现。对于彩色图的重现，特别是彩色数字全息图的重现，当你们深入学习了衍射计算理论后，我再与你们一起讨论。
图3为用照相感光板拍摄传统全息图的示意图。图中的唐三彩马为物体，当物体被一束光照明后，从物体表面散射或反射的光（称物光）将到达感光板。如果利用与照明光相干的光波（称为参考光）同时投向感光板，那么，就如用胶片拍摄照片的相机一样，感光板上将拍摄到物光和参考光干涉的强度图像。通过对感光板的显影及定影等化学处理，便形成传统的全息图。
全息技术涉及的物理光学理论可以通过严谨的数学描述。在空间建立直角坐标O-xyz，令z为光轴。空间曲面S上的光场分布U0（x,y,z）已知后，沿光轴方向经过距离d在另一个直于光轴的平面（xp,yp）的衍射场按照惠更斯-菲涅耳原理可表示为
利用式（1），若要计算曲面光源S上发出的光到达接收平面的光波场，可以将曲面视为量值极大的N个小面元的组合。令为空间坐标为的第s个面元到观测平面的距离，该面元的面积设为Δs，光波复振幅为，感光板平面坐标为（xp,yp），到达感光板的光波场可以写为这N个面元的衍射场之和
从严格的理论意义上看，每个面元发出的光波在感光板上引起的光振动值与该面元的法线方向还有关[7]，但为简明起见，这里视为只与面元到达感光板的距离相关。
等式右边第1项的方括号中的项是一实函数，第1项代表重现光振幅受到该实函数调制的沿着重现光照明方向传播的光波。
等式右边第2项，由于代表重现光的强度，代表与沿原物光反方向传播的光波。如果重现光是强度均匀的平面波，在原物体位置将重现由各微小面元构成的三维曲面S。
等式后边第3项的光传播方向取决于重现光的具体形式，这里我们不详细讨论它，可暂时称为对重现像有干扰的光波。
应用研究中，为了分离出对重现像干扰的第1项和第3项光波，通常在拍摄全息图时将参考光设计为与光轴z有一定角度的平面波，这样拍摄出的全息图称离轴全息图。正确选择重建光的倾角，在原物体位置上将能看到清楚的物体像。
如何理解图1及图2的重建像呢？事实上，这两幅全息图称为像面全息图。拍摄时让物体和感光面间放置一成像透镜，让三维物体的各小面元将在感光面邻近区域成实像。这样，当重建光照明全息图时，重现像则是原物体在感光面邻近区域的所有小面元的像。这些小面元不但构成物体实像的表面，而且每一面元可以视为一新的发光源，在不同的角度则能看到三维物体的不同形状。理论及实验研究证明[1]，当物体靠近全息图或邻近全息片时，全息图的横向色差和纵向色差都趋于零，可以用白光再现出清晰的彩色图像。
上面的简要介绍事实上是传统全息及下面我还将介绍的数字全息的最基本的理论。随着计算机技术的进步，虽然数字全息理论及技术均获得飞速发展。但所有的研究都要离不开这些基础理论。如果今后你们从事这方面的深入学习和研究，熊秉衡及李俊昌两位老师编著的《全息干涉计量——原理和方法》[1]一书是很好的参考。
在上世纪80年代，熊秉衡先生领导的研究团队在大景深的全息图的拍摄及显示方面取得过国际领先的成果。
上面这本书由我国光学界泰斗、为“两弹一星”做出杰出贡献的科学家王大珩先生作序。序言中写道：“本书作者长期从事激光全息的研究工作，他和合作者们在实时全息、全息肖像、大景深全息、模压全息、散斑、全息元件等方面，有多项较高水平的研究成果。突出的实例如大景深技术，采用25 cm相干长度的激光器拍摄成功8.2 m景深、4.5 m尺寸的场景，创下菲涅耳全息的国内外最好成果，在1986年7月举行的国际全息应用会议上介绍中国光学进展的报告，提到了这项研究成果。”
由于讨论彩色全息涉及较多你们目前还未学习的知识，这里暂不介绍。
4 三维物体的数字全息图拍摄及显示
随着科学技术的进步，利用微计算机控制的光电耦合器件（CCD）或CMOS代替图3中照相感光板，可以形成数字全息图。图4为用CCD记录数字全息图的示意图。
沿用上面定义的参数，数字全息图H（xp,yp）的理论表示仍然可以利用式（6）。然而CCD记录的是物光与参考光干涉场的强度图像，其由0~255数字等级归一化的二维数字阵列，形成数字图像存入计算机。
长期以来，重现图像是通过计算机程序设计数字重现光，通过计算机编程并采用特殊的数字分离技术从式（7）中分离出等式右边第2项的U*（xp,yp）或第3项的U（xp,yp），通过衍射的数值计算在计算机屏幕上显示重建像U0（x,y,z）。
然而，由于计算机屏幕只能清晰地显示二维图像，对三维物体而言，只能逐一地显示物体曲面与垂直于光轴平面相交的截线邻近区域面元的像，物体曲面上的其余面元则形成不清晰的离焦像，对三维曲面重建像显示形成干扰。因此，利用计算机屏幕不能获得类似图1和图2的三维重建像，面向实际的三维显示屏的研究是当今的研究热点。就我所知，北京邮电大学桑新柱老师团队、苏州大学的陈林森老师团队及北京理工大学王涌天等老师的研究团队正取得出色的研究成果。
但是，计算机屏幕显示数字全息重建的三维物体彩色像仍然是非常不错的。由于真彩色可以由红、绿、蓝3种色光组成，同时包含3种不同波长色光的全息图可以由计算机分别重建出红、绿、蓝三图像，最后在计算机上合成真彩色图。
我们昆工与法国知名数字全息专家PICART教授有联合培养博士生的关系，图5为宋老师在法国攻读博士期间用国外质量较好的三色CCD拍摄及重建的陶瓷京剧面具重建像。
在数字全息研究领域，如何获得优质的重建像，昆工李老师与法国PICART教授合作取得许多重要研究成果。例如，设计特殊的数字球面波高效率地重建物体像[2,13]，充分利用CCD的分辨率显示需要重建的局部物体像[2,14]。
近年来，数字全息及全息三维显示获得积极进步。例如，美国亚利桑那大学教授大卫·布雷迪（David Brady）开发了一种称为稀疏全息术的新技术，可以从二维全息图创建三维图像。生成的图像不是照片，面是场景的三维表示，可以使用交互式软件或通过3D打印模型来考察所生成的三维图像的正确性。
由于数字全息图的记录和再现可以通过计算机控制完成，这样显著简化了传统全息需要对感光板进行显影及定影等复杂的操作。随着科学技术的进步，利用重建光照明计算机控制的空间光调制器，在空间重现3D物体的像在国内外成为一个重要研究领域。昆明理工大学主要进行三维物体的衍射计算及用空间光调制器重现三维物体像的理论及实验研究。如果你们今后在该研究领域深入学习，建议先看李老师2016年在科学出版社出版的《衍射计算及数字全息》第9章。这是李老师编写的模拟由两个物体构成的数字全息3D动画。
正如该书第9章所总结的：“全息3D动画的‘角色’可以是数学建模的虚拟物体，也可以是数字全息记录的实际物体，将数字全息波前重建获得的物平面二维光波场视为‘物’，则能通过经典的衍射计算公式计算由该物体在新的光波照明下在任意给定位置的光波场。由本章3D物体表面衍射场计算的‘光源变换法’可知，将一个物体表面发出的光波变换为邻近物体并与光轴垂直的平面光波场后，虚拟3D物体的发光特性也可以完全由二维光波场表示。不难想象，当编辑或导演一个全息3D动画时，可以预先将动画角色对应的二维光波场复振幅以二维数组的形式存储于计算机，形成可以调用的3D全息元件，基于衍射理论建立了相关的调用及控制这些角色运动的技术后，便能像传统3D动画一样，同时进行这两类物体3D像的混合显示，形成生动活泼的全息动画。
全息3D显示研究领域还存在许多期待着科学工作者开垦与耕耘的‘处女地’，进一步研究与全息3D动态显示相关的理论及技术具有重要意义。”
在数字全息及全息3D显示研究领域我们与法国及台湾地区的科学家有着很好的合作。有好几位师兄和师姐在进行相关研究，有机会我会再给你们详细介绍。
由于你们在家做衍射实验很难正确测量实验参数及记录实验结果，我请两位师妹和我一起做了直径为1 mm的圆孔光阑在不同距离的衍射实验，照明光是经过认真调整的平行光。现附上相关参数将实验结果发给你们，可以再次验证你们的微波元法程序。由于距离较远时的衍射图像超过CCD的接收窗口，实验图像是用坐标纸附在平板上作为接收屏，虽然是用手机拍摄的，但利用坐标纸的背景较好地消除了拍摄时的倾斜失真，是较好的实验依据。要注意的是，在所拍图像中，为了能够得到较弱的衍射条纹，光强较大的图像区域因手机响应饱合呈现为白色区，你们计算比较时需要注意。
为能简明地判断你所写程序的正确性，建议你们从网上下载《信息光学教程》第2版[9]的程序，关于二维场的衍射计算，可以用上面这本教材的程序LXM6.m作比较。
我和两位师妹做实验的那天，她们的指导老师樊教授也在实验室。樊老师对你们两位的学习精神很赞扬，让我的两位师妹补充做了另外一些衍射实验，她们是上学期刚进校的研究生，樊老师认为，可以作为她们刚学习完《信息光学教程》课后是否能正确应用理论知识的检验，让他们利用所学到的理论自己编写程序进行计算。此外，为便于你们今后的学习，按照樊老师的建议，我为你们网购了《衍射计算及数字全息》上下册，请注意查收。
就写这些，昆明是个好地方，期望今年暑假约上郝思来昆明，我带你们参观我们的实验室，一起到附近的风景胜地一游。
……
这篇微信的内容丰富多彩，尚进虽然一时还不能全部看懂，为能较好地与郝思展开讨论，他立即将这封微信转给郝思。
郝思已经从网上购买了《信息光学教程》第2版。看过师兄微信后，他从网上下载了程序LXM6.m，立即对昆工彭颖发来的圆孔衍射实验图像作模拟计算。由于理论计算与实验吻合甚好，禁不住给尚进发了一条微信：“老兄，彭颖建议下载的程序太好了！真得谢谢她。我们还将得到她的赠书，看来你和这位学姐关系非同一般啊！”
看到微信的尚进立即拨通电话给郝思说道：“龟儿子，可别乱猜！她大我六岁，她家和我家是十年前的老邻居，她父亲现是川大物理学院的老师。”
接着又补充道：“她父亲与我爸相当熟，去年高考后我爸带我到她家去过一趟，想听取她爸对我高考后填报志愿的建议。这时才见到假期回家而我十多年未碰到过的彭颖。十多年前我还是二年级小学生时她已经上初中，由于四川大学有了新住宅，她们家便迁到新居了。那次到她家时，她也非常热情地给我提了报考大学专业的建议，并告诉我，如果今后学习的是光学专业，有问题她也许能帮上忙。这样，我和她加上了微信。”
“莫诡辩呵！老尚，法国不是有个马克龙吗？哈哈…..
程序LXM6.m是基于角谱衍射理论及快速傅里叶变换编写的，是否真能准确计算衍射问题呢？下面我们将看到，其数值计算理论还需要补充和完善。
5 角谱衍射计算程序引起的困惑
言归正传，两位年轻人通话的话题很快便转到对彭颖发来的微信内容的讨论。
尚进认为，球面波照明圆孔衍射的问题按照彭颖这次发来的式（4）进行“微波元法”计算应该是可以的，只要将取样点放在透过圆孔的球面波前上，并且按照上次彭颖来信说到的取样规则，就不会产生克隆光场干扰，获得正确的结果。至于全息3D显示及动画，图像很好看，待收到彭颖的赠书后可以认真学习研究。
郝思则觉得应该看一下程序LXM6.m对应的理论，这样才能较好地知道这个程序的由来。讨论结束后，二人分头学习研究。
很快，尚进将球面波照明圆孔衍射的想法按照式（4）编写成程序，计算完成后取模的平方得到强度图像。他与自己曾经在家的实验图像比较后，非常吻合。他将程序及实验测量整理成文立即发微信给师弟……
然而，正当他为所取得的学习成果欣慰之时，郝思的电话来了。
“老尚，我已经看了你的微信，将透过圆孔的球面波前视为新的曲面波源，这事实上就是惠更思-菲涅耳原理的一个实际应用。数值计算时，按照彭师姐提供的取样宽度规则，在球面波前上合理取样，不产生克隆场干扰就会得到正确的结果。但是，我用网上下载的程序LXM6.m对她发来的圆孔衍射实验进行了计算，觉得有一些问题不好解释。我将所遇到的问题整理成一个文件，用附件发给你。你最好是将文件中图像放到电脑上，我们一起讨论。”
很快，尚进在电脑上看到了图像，并立即给郝思拨通视频通话：“好啦，我看到了，请讲！”
“老兄请看，这是3种不同距离的理论计算及实验测量的比较结果。
“是的，我看到了。”
“应该说网上下载的程序是不错的，我已经注意到光强较大的图像区域因手机响应饱合呈现为白色区，特地对图像的显示进行了限幅处理。现在图像中央的白色区域事实上包含了相对强度为最大强度1/100的所有区域。从总体上看，理论计算与实验测量吻合较好，但随着衍射距离的增加，理论计算的衍射斑上会出现不平滑变化的毛剌。
“是的，我看到了。”尚进也陷入深思……
郝思接着说：“虽然李老师的书上讲，这个程序对衍射距离较近的计算合适。但书中涉及的是快速傅里叶变换理论，我们都没学过，我一时还看不懂。要不你再请教一下你的彭师姐？看看你的那位高人有什么高见。”
“好吧，我再问问。”尚进将问题整理好后立即又给彭颖发了微信……
6 角谱衍射的数值计算理论补充
没想到，还不到一个小时，尚进便收到彭颖的电话回复。
“很抱歉！我忘记告诉你，这个计算程序的理论已经被修改或者说被补充了，这是不久前李老师参加我们课题组讨论时说到的。他和宋老师都认为，按照角谱衍射理论，当利用衍射传递函数计算衍射时，初始光场的取样平面与计算后的观测平面是同样的宽度，一旦计算区域的宽度及衍射距离选定，初始平面发出的许多高频角谱不能到达计算区。在编程计算时必须删除那些不能到达计算区的高频角谱，否则，那部分角谱就形成对计算结果的干扰。李老师表示，今后再版《信息光学教程》或衍射计算专著时，要将这部分内容补上。
由于角谱衍射理论及衍射的D-FFT算法你们都未学习过，一时较难向你们认真解释。现在，我将要补充在LXM6.m程序中的几个语句发给你，你们补上就能较好地完成运算。”
很快，尚进收到这位好心师姐发来的语句，按照师姐的说明对程序进行了修改，计算图像果然大为改观。为了能较为直观地看出程序修改前后所计算得到的衍射场强度的变化，尚进还补充了每一图像沿横轴的强度曲线。
整理计算结果后，他通过电话对彭师姐表示感谢，并给郝思发了计算图像及下面说明文字。
老弟，我收到彭颖的回信了，LXM6.m程序的计算理论已经被补充或完善，只是还没有形成论文发表，彭颖给我发来了程序的修改语句。关于LXM6.m程序的计算理论及目前为什么要作修改，涉及角谱衍射数值计算理论，今后我们再学习。按照彭颖的建议，我对程序进行了修改，已经能够较理想地获得与实验相一致的结果。下面是程序修改前后的几幅衍射斑的轴向强度曲线比较。修改前的图像我标注为D-FFT，修改后的标注为Dm-FFT。
可以看出，随着衍射距离的增加，彭颖所说的高频角谱的干扰逐渐增加。如果不对程序进行修改，网上下载的D-FFT计算程序LXM6.m只能较好地计算距离比较近的衍射场。但按照补充和完善后的计算理论，对衍射距离较远的衍射计算也能够足够好地得到与实验观测相吻合的结果。
郝思看了尚进发来的微信，并仔细研究发来的Dm-FFT程序，觉得一时难弄懂，便打算今后认真看看《信息光学教程》这本书后再与尚进讨论。
他给尚进回了微信：
谢谢师兄，虽然现在我和你一样，一时还不能弄懂D-FFT或Dm-FFT程序涉及相应的衍射数值计算理论，既然我们都是光学专业的，今后要认真学习。
早就听说昆明是旅游胜地，老兄那位在昆工的彭师姐不但为我们解答了问题，还邀请我们假期到昆明。我想，如果能够安排好时间，今年暑假就去一趟。此外，我觉得应该将我们这个假期学习的大体情况给肖教授汇报一次，师兄意下如何？
尚进读了他的回信后表示，向肖教授发这样一封信很必要。但由于他好几个老同学假期几次约他聚会都没去，同学们“罚他做东”明天组织一次聚会。因此，他建议郝思先执笔，写好后一起讨论。
两天以后，尚进和郝思认真地整理了假期学习心得发给了肖教授。让他们没想到的是，肖教授对他们的学习成果褒奖后，给他们讲述了两个故事：
一是在没有计算机的时代菲涅耳是如何计算衍射积分的。菲涅耳用他总结的计算方法准确地计算了1818年获得大奖论文中他进行的25次直边衍射条纹的分布。
二是介绍昆工李老师3年前从法国合作者那里得到菲涅耳这25次直边衍射的实验数据后，意外地发现，他30年前导出的直边衍射条纹的间距公式，能够准确地计算菲涅耳获得大奖论文给出的所有直边衍射实验的条纹间距分布。
参考文献：
[1]熊秉衡,李俊昌.全息干涉计量——原理和方法[M].北京:科学出版社,2009.
[2]李俊昌.衍射计算及数字全息[M].北京:科学出版社,2014.
[3]钱晓凡.信息光学数字实验室[M].北京:科学出版社,2015.
[4] Jun-Chang Li,Pascal Picart.Holographie Numérique[M].Lavoisier:Paris,2012.
[5]Pascal Picartm, Jun-Chang Li.Dogital Holography[M].WILEY:London,2012.
[6] 张亚萍,潘定中.现代信息光学[M].北京:高等教育出版社,2023.
[7] [美]顾德门（Joseph. W. Goodman）著,陈家璧等译.傅里叶光学导论[M].北京:科学出版社,2020.
[8] 李俊昌,熊秉衡.信息光学教程[M].第1版,北京:科学出版社,2011.
[9] 李俊昌,熊秉衡.信息光学教程[M].第2版,北京:科学出版社,2017.
[10] 李俊昌,罗润秋,彭祖杰,宋庆和,桂进斌,夏海廷.相干光成像系统传递函数的物理意义及实验证明[J].光学学报, 2021, 41(12):1207001.
[11] 李俊昌,彭祖杰,桂进斌,宋庆和,楼宇丽.傍轴光学系统的相干光成像计算[J].激光与光电子学进展,2021,58(18):181.
[12] 李俊昌,桂进斌,宋庆和,夏海廷,王晓诗,鞠钦宇,吴佳雪,彭雨笛.像面数字全息物体像的完整探测及重建[J].光学学报,2022,42(13):1309001.
[13]Jun-chang Li, Patrice Tankam, Zu-jie Peng, Pascal Picart. Digital holographic reconstruction of large objects using a convolution approach and adjustable magnification[J]. Optics Letters, 2009, 34(5): 572–574.
[14]Li Jun-chang,Peng Zu-jie,Tankam Patrice,Song Qing-he,Picart Pascal.Digital holographic reconstruction of a local object field using an adjustable magnification[J]. Journal of the Optical Society of America A,2011, 28(6): 1291-1296.
预告：第十篇菲涅耳函数的菲涅耳算法
1818年，菲涅耳定量描述惠更斯原理的数学公式被后人称为菲涅耳衍射积分。目前，菲涅耳衍射积分的运算基本上采用快速傅里叶变换（FFT）。然而，不同的FFT算法是1965年才开始研究出来的，200年前还没有计算机，这篇动摇微粒说的获大奖论文中菲涅耳如何计算他提出的积分表达式？乃是当今科技界鲜为人知的故事。
当照明光为均匀球面波时，直边衍射的计算事实上转换为后人命名的菲涅耳函数的计算。下文将介绍菲涅耳当年计算菲涅耳函数的方法、他进行的球面波照明的25次直边衍射实验与理论计算的比较结果。直边衍射条纹的实验观测与理论预计惊人地吻合，这就解释了光的微粒说不能解释的问题，是菲涅耳论文获得大奖的一个重要原因。
下一篇文章将看到，对菲涅耳函数的数学分析不但可以建立准确的数值计算方法，利用计算机获得给定精度的准确解，而且能够导出直边衍条纹的分布公式。该公式能准确计算200年前菲涅耳获大奖论文的25次直边衍射实验的条纹间距分布
作者简介
李俊昌，1945年生, 汉族, 昆明人，昆明理工大学物理光学二级教授。享受国务院特殊津贴、全国优秀教师、云南省优秀工作者、《中国激光》杂志常务编委（2008-2018）、云南书画院研究员、云南美术家协会会员。1968年毕业于云南大学物理系，1980年从工厂调入昆明理工大学任教至今。
作为客座教授，先后在法国里昂应用科技学院、法国里昂中央理工大学、法国巴黎高等工业大学、法国国家科研中心及法国缅茵大学合作科研或指导博士生。几十年来，在法国巴黎光学院等多所知名大学及国内中国科学院研究生院、清华大学、国防科技大学、西北工业大学、北京邮电大学、北京理工大学、北京工业大学、四川大学、成都光电所、上海光机所、香港城市大学及台湾师范大学等数十个知名科研院所进行过多次专题学术讲座。在物理光学领域的主要研究成果是修改了国内外50多年来一成不变的相干光成像近似理论。
第一作者在国内外著名学术期刊发表SCI及EI索引的科学研究论文60余篇，出版中、英、法文科学专著六部：1、《激光热处理优化控制研究》（冶金工业出版社1995年）；2、《激光的衍射及热作用计算》（科学出版社2002年第一版，2007年修订版）；3、《信息光学理论与计算》（科学出版社2009年）；4、《信息光学教程》（科学出版社2011第一版，2017年第二版）；5、法文专著《数字全息》Holographie numérique（法国巴黎：HERMES科技出版社2012年）；6、《衍射计算及数字全息》（科学出版社2014年中文版，2016年英文版）。
自幼爱好书画，上世纪70-80年代，美术作品多次参加云南省美展，在报刊杂志出版过多种连环画。改革开放后主要从事科研及教学，但美术作品2019年及2021年入选云南省美展。
