据中国激光杂志社网，于2023年10月04日报道，柯林斯公式是1970年由柯林斯（Collins S. A.）提出的[1-2]，柯林斯将矩阵光学与菲涅耳衍射积分相结合，基于程函理论导出了这个公式。该公式可以准确地计算光波通过2×2光学矩阵描述的光学系统的衍射。2017年，光学名著《傅里叶光学导论》第4版介绍了柯林斯公式[3]。
由于应用研究的需要，作者20世纪90年代接触到柯林斯公式，将公式用于作者提出的激光通过光束整形系统的衍射计算后，引入菲涅耳函数对柯林斯公式近似表示，显著简化了描述光学系统性能的衍射计算。
《傅里叶光学导论》中定性地介绍了光波通过光学系统时瑞利的衍射计算理论，是否能基于瑞利的衍射理论重新导出柯林斯公式，成为作者的研究课题。为此，让光波到达光学系统出射光瞳的传播用矩阵光学描述，此后再引入菲涅耳衍射积分进行后续研究，果然导出柯林斯公式[4] 。
柯林斯公式的计算通常采用快速傅里叶变换进行[5-6]，但计算前必须知道组成光学系统的所有部件的2×2光学矩阵元素，准确测量每一部件之间的间隔，并按照光波通过光学系统的顺序，让所有部件及衍射空间的光学矩阵作乘积运算才能获得光学系统的光学矩阵。当光学系统的部件较多时，确定每一光学部件的矩阵元素及准确测量每一部件间的距离是一件细致而繁杂的工作，容易形成测量的累计误差，累计误差将导致衍射计算误差。
为便于柯林斯公式的实际应用，本文基于光波通过光学系统的直边衍射条纹分布公式，提出通过衍射条纹测定光学系统矩阵元素的方法。并且，通过附录介绍矩阵光学与瑞利的衍射理论相结合导出柯林斯公式的数学过程。
1.柯林斯公式
在互联网时代，可以从网上方便购买2020年由科学出版社出版的近代光学名著《傅里叶光学导论》第4版，这是进入昆工光学点攻读学位的研究生在上《信息光学教程》课时，老师建议必须购买的经典著作。入学一年的黄金鑫和赵雯丽不例外，人手一部。过去的一年，因课程较多，除了偶尔参阅外，还没有认真阅读。
新学年开始了，黄金鑫开始有计划地看这个大部头的经典著作。这一天，他来到图书馆一楼大厅的单人自习桌前坐下。做完作业后，开始认真地阅读……
在《傅里叶光学导论》第4版中，关于柯林斯公式，顾德门教授是参照Collins S. A. 1970年的论文[1]及1986年A.E.Siegman的光学名著《Lasers》[2]引入的。书中4.2.6节给出一维情况下的柯林斯公式的数学推导过程。6.4.1节将研究结果推广为相干光通过2×2矩阵描述的光学系统后省略常数相位因子的柯林斯公式，式中，λ为光波长，，为光波穿过光学系统后观察平面上的复振幅。
过去一年，小黄已经在研究生课中学习过柯林斯公式，但有印象是该公式没有省略常数相位因子。究竟这个常数相位因子是否有必要保留呢？于是，他打开《信息光学教程》第2版[7]，从刚学过的这本教材中找到带有常数相位因子的柯林斯公式
式中, k=2π/λ，L为光学系统沿轴上的光程，U0(x0,y0)为光学系统入射平面上的光波复振幅, U(x,y)为光波穿过光学系统后观察平面上的复振幅。
“也许，当从激光器发出的光被分束后通过两个不同的光学系统后再相遇，那么，两系统的轴上光程L会有区别。为描述相遇时的干涉问题，大约是保留为好……”
正当他沉浸于思考之时，忽然，手机视频电话振铃响了。
噢！是彭颖的电话。
“小黄，不知你是否能来实验室帮个忙？我有一个实验要做，也许要用两个小时。”
“好的，彭师姐，我一会到。”黄金鑫回话后，便立即收拾东西后往实验室走去……
原来，彭颖对上次他们一起做的用菲涅耳函数计算直边衍射的工作认真思考后，觉得理论计算与实验测量如此吻合，很想能将其研究推广应用于她现在的彩色数字全息课题研究。具体而言，就是利用光波通过光学系统的直边衍射条纹公式确定彩色显微数字全息检测中不同色光通过同一光路时的光学矩阵。因为先前的研究是将物光光路的光学矩阵对每一色光视为相同，其理论上不严谨。
当她将这个想法在她学位论文检查会上提出时，得到她的指导教师宋庆和以督导身份参加会议的李老师的支持。
彭颖的想法是这样的，按照《激光的衍射及热作用计算》[4]一书给出的光波通过由2×2矩阵元素A、B、C、D描述的直衍射条纹公式，第n级衍射暗纹到0级暗纹的距离为
由于不同色光的光波长λ不相同，利用上述公式，通过直边衍射条纹的检测有可能获得不同色光所对应的A、B、C、D参数值。若研究成功，则可提高彩色数字全息检测质量。
听了小彭的想法，宋老师当即表示：“想法不错，检测物体三维微形变时，用到三个色光，但目前均将物光光路的矩阵参数视为相同。为确定每一色光对应的A、B、C、D参数，应该在系统不同位置进行三次直边衍射条纹的测试，因此4个参数只要知道其中3个就行了。”
“这是一个很有意义的工作！”李老师完全同意，并补充说道：“2020年科学出版社出版的光学名著《傅里叶光学导论》第4版报导了柯林斯公式。由于这是影响着国内外几代光学工作者的经典著作，对第4版的学习，将会促进这个公式在国内的广泛使用。虽然我们的教材中有柯林斯公式的推导及计算研究，为配合这部光学名著的学习，我们若能就柯林斯公式的实际应用做一点工作非常好。”
接着，李老师又说：“柯林斯公式的计算必须知道光学系统的所有部件的2×2光学矩阵元素才能获得系统的光学矩阵。当光学系统的部件较多时，确定每一光学部件的矩阵元素及准确测量每一部件间的距离是很繁杂的工作。虽然以前我们曾经就这个问题采用数字全息检测的方法做过研究[8]，但按照小彭提出的想法，直边衍射条纹的实验测量比数字全息要方便得多。如果能够以较高的精度实验测量出光学系统的矩阵参数，对柯林斯公式的计算将提供很大方便。
十年前，我们曾经将柯林斯公式用于彩色数字全息研究，虽然论文发表了[9]，但通过光学系统时每种色光的对应的系统光学矩阵均视为相同，从严格的理论意义上看，分别用上三种色光对应的光学系统矩阵元素能够得到更好的重建真彩色像。一会我将这篇文章发到研究生群，供大家参考。”
会后，彭颖与宋老师讨论后，确定了研究方案，并通过理论模拟证实了她的设想。
为能够得到实验证明，她设计了由两个透镜组成的光学系统，要进行三种不同位置的直边衍射实验。因此，她请一位同窗师兄及小师弟黄金鑫来帮忙。
基于柯林斯公式的彩色数字全息
在彭颖学位论文检查会的那天晚上，李老师便将2013年在荷兰光学通信（Optics Communications）发表的 “Wavefront reconstruction through a paraxial optical system in color digital holography” 论文发到光学研究生微信群中。主要内容如下：
图1为数字全息系统简化光路。图1中，由某一色光照明下物体发出的波穿过负透镜L0及分束镜Ms后才到达CCD探测器。物平面到CCD平面构成光学系统。
设光学系统由矩阵描述。按照图1及相关参数，其光学矩阵为，式中：n为折射率，f0为透镜焦距。对于不同波长的色光，n及f0是均是不同的值。
图2是利用三种不同色光照明物体时，依次用CCD记录下全息图后重建物体的不同色光分量及最后合成的真彩色物像。
李老师认为，虽然理论上不同色光对应的光学矩阵元素数值应不相同。然而，由于该论文是用柯林斯公式研究重建像的位置，具有新颖性，论文被国外杂志接受并发表了。
在彩色数字全息实验研究中，如果三种色光共用的物光通道测量的光学矩阵参数有较明显的差异，利用实际测量的光学矩阵来进行彩色数字全息的波前重建就非常必要了。
3.彭颖的理论分析及实验研究方案
看了上面这篇论文，大家对采用实验方法确定光学系统的矩阵元素充满期待，以下就介绍彭颖经过认真思考后的理论分析及实验研究方案。
图3中，用实线框示出可以由2×2元素光学矩阵式中：n为折射率，f0为透镜焦距。对于不同波长的色光，n及f0是均是不同的值。
图2是利用三种不同色光照明物体时，依次用CCD记录下全息图后重建物体的不同色光分量及最后合成的真彩色物像。
在待确定矩阵元素A、B、C、D的光学系统入射平面前方距离z0的平面P0处放置直边光阑，让沿z轴传播的平面波照明光阑后，光学系统出射平面P2上先记录直边衍射图案T0。将平面P0到P2的光学矩阵视为。
将直边光阑移到光学系统的入射平面P1，出射平面P2上记录下直边衍射图像T1。按照（1）式，通过直边衍射图T0、T1衍射暗纹的测量可以确定A0B0及AB之值。因此，通过（3）式能够确定矩阵元素A、B。
此后，在光学系统输出平面P2处放置直边光阑，后面距离z1的P3平面再测量直边衍射图案T3。若照明光是空间变化率很小的平面波，让光波照明只允许1、4象限透光的半无限大平面后，经过距离z在P3平面的衍射场强度，再进行数学运算及整理后，引入常数因子Θ以及菲涅耳函数C及S，P3平面的衍射场强度可以写为
利用P3平面的直边衍射图T3，通过上式可以得到。将（3）式得到的A的数值代入后，即能求出矩阵元素C。由于D =（1+BC）/A，四个矩形阵元素即可求得。
为验证上述讨论的可行性，彭颖将图3具体化，设计了由两个透镜构成的光学系统，如图4所示。
图4中，由虚线框住的光学系统包含两个透镜，其焦距分别为300 mm及400 mm，系统入射平面P1到透镜1的距离d0=200 mm，两透镜间距离d1=700 mm，第二个透镜到出射平面P2的距离d2=200 mm。
按照上述光学系统，将CCD置于平面P2，直边光阑先后置于平面P1,P0,P0’，用波长0.0006328 mm的准直扩束平行光沿z轴正向照明，CCD记录下三个直边衍射强度图像E1,E0,E0’。
此后，将直边光阑放于平面P2，CCD移到平面P3，再次用CCD记录下直边衍射强度图像E3。
按照所设计的参数，由平面P1到P2所构成系统的光学矩阵为
将相关参数代入上式可以得到：A=－1.3333，B=283.200 mm，C=8.6736×10-9/mm，D=－0.7500。
4.实验研究结果
到达实验室的黄金鑫，看到彭师姐和另一师兄正在专心致志地调试光学系统。彭颖回头简单说道：“小黄，快套上脚套，你来记录衍射图。”
……
在三人的配合下，实验很快完成了。
“谢谢两位的配合，我回去处理一下数据，很快会将结果告诉你们。
两天后，黄金鑫收到彭颖的信息。他们的实验应该没错，但有一些令人深思的问题。彭师姐是这样说的：
小黄，我认真看了基于柯林斯公式导出的直边衍射条纹公式，那是将柯林斯公式表示为卷积形式后，参照菲涅耳衍射积分用同样的方法导出的，应该没问题。但是，按照实验参数模拟的直边衍射条纹分布图像与两天前我们做的实验不完全相同。
我利用模拟图像通过衍射条纹间隔的测量的确获得了光学系统的矩阵参数。当然，这是一种自洽式的图像处理操作，得到运算前假定的矩阵参数不足为奇。但是，如果用实验图像来确定矩阵参数，这就与我们实验时设计的参数有差异了。
我们实验时用的CCD像素宽度为0.0052 mm，面阵为2048×1536。下面的前三组图是CCD记录的三个直边衍射强度图像E1,E0,E0’与理论模拟图像的比较，每幅图像的宽度为10.65 mm。
可以看出，虽然实验测量与理论模拟的图像不完全一致，但条纹分布变化规律是相似的。衍射条纹的稀疏与密集与矩阵元素B×A的数值相关。为说明这一点，将柯林斯公式（2）写成卷积形式
由于积分式前的相位因子对光波场的强度分布无影响，将上式与菲涅耳衍积分比较可知，式中BA的数值等效于菲涅耳射的距离，其数值越小则衍射条纹越密集。如果将实验研究中放置直边光阑的平面视为一个光学系统的初始平面，以上三直边衍射图对应的数值BA分别为E1：BA=-377.6 mm；E0：BA =-200 mm；E0’：BA =-22.222 mm。因此，图7的衍射条纹最密集。
对于图8中的直边衍射图，由推导式（4）的过程中可知，其直边衍射图的计算类似于直边光阑在平面波照明下经过距离z3(1+z3C/A)的菲涅耳衍射，其数值为200 mm。因此，衍射条纹的分布与图6相同，只是方向相反。理论模拟与实验测量均满足同一规律。
至此，有几个要进一步研究的问题：
其一、对于给定的光波长，透镜的焦距是否是生产厂家标定的数值？
其二、将透镜视为薄透镜时，理论上透镜所在位置应该是沿光传播方向的第二主面。但实验测量中习惯视为透镜中心所在平面位置，因此元件间距离参数的测量不够准确。是否今后应参照透镜生产厂家给定的参数来确定第二主面的位置？
其三、这也许是最重要的结论，那就是通过实验测量的矩阵参数才是实际光学系统的真实参数。如果实验测量的参数与理论计算的有较大差异，重要的彩色数字全息实验是否有必要重新做或者按照实验测量的光学矩阵来重新处理数据？
为回答上述问题，我觉得应该重新进行一次实验，特别是将这种确定光学矩阵的方法与先前李老师用数字全息检测的方法作比较，看看两种方法哪一种更适用。如果三种色光测量的矩阵参数的较明显差异，这对我们提高彩色数字全息检测质量的研究将非常有价值。
我已经将上述内容告诉宋老师，宋老师支持我的分析，并准备对上述研究认真讨论一次后再做实验。此外，宋老师建议，为能应用好柯林斯公式，除要了解公式中各变量的物理意义外，还应认真看看柯林斯公式是怎样推导出来的。我们应先看1970年柯林斯所发表的论文，然后再看李老师按照瑞利的衍射理论从另一理论途径进行的推导。
宋老师说，要取得一项科学成果，总是要经过刻苦的努力研究。对此，还通过电话讲述了20年前李老师重新推导柯林斯公式时的一个真实的故事。我觉得，我们的学习均很努力，这个故事对我们如何注意劳逸结合很有益，我将其整理成文转给大家。
收到微信的黄金鑫很快给师姐回了电话：“下次做实验一定通知我！”
接着，看了彭颖用文字整理的那个故事。
一个真实的故事
2000年李老师在巴黎高等工业大学（ENSAM de Paris）工作时，决定在工作之余认真总结十多年来从事衍射计算及激光热热处理的科研工作，着手撰写《激光的衍射及热作用计算》一书。在编撰过程中，他觉得，柯林斯公式及公式的实际应用是应该整理入书的内容。回顾《傅里叶光学导论》中介绍的光波通过光学系统时瑞利的衍射计算理论后，觉得矩阵光学是基于几何光学形成的，如果先用矩阵光学描述光波到达出射光瞳的传播，再用菲涅耳衍射积分计算到达观测平面的衍射场，应该也能导出包含光学系统矩阵元素的计算公式。
李老师每天早上六点起床便在计算机前开始工作，这是他长期以来形成的习惯。柯林斯公式是一个星期六的上午他按照上面思路导出的，他非常兴奋。为了将推导过程即时整理成文，中午在宿舍煮碗面条吃完后，接着就坐到电脑前工作…..
由于思想太集中，肚子的剧烈疼痛不知什么时间开始，但感到疼痛已经受不了的时候，一看手表却是下午7点多了。
他起身在室内走动，对肚子做各种搓揉，症状毫无缓解。最终，倒在床上。
……
晚上9时，他用手机给巴黎的中国使馆教育参赞打了电话（因李老师在法代表昆工与法国几所大学联合培养博士生的工作一直得到中国使馆教育处的热情支持，他有教育参赞的电话）。那天接电话的是教育参赞曹国兴。当他知道李老师的情况后，立即回话：“不要乱动！我马上来”。很快，曹参赞开车到达李老师住处，陪同参赞前来的还有国内南京儿童医院在法进修的一位女医生。
经医生询问及初步检查后，认定是肠梗阻，是中午饭后没任何运动就坐在电脑前导致的结果。必须立即到医院急诊！两人将李老师搀扶到车上直奔医院。
那天晚上，曹参赞一直在医院守候到次日凌晨一点…...
看过这个故事，黄金鑫非常感慨。不久以后，他认真读懂了李、熊两位老师主编的《信息光学教程》第2版附录中柯林斯公式的推导过程。
按照矩阵光学理论，轴对称傍轴光学系统的光学特性可以由一个2×2的矩阵描述。于是，出现一个很有意义的问题：如果能够将相干光通过傍轴光学系统时的衍射表达为一个与矩阵元素A、B、C、D相关的计算公式，无疑要大大方便衍射问题的研究。顾德门教授在光学名著《傅里叶光学导论》中曾经指出：按照瑞利的衍射理论，可以将光波通过光学系统的衍射视为光波通过出射光瞳的衍射。作者将证明，柯林斯公式可以按照瑞利的衍射理论导出。
基于矩阵光学，现在研究轴对称傍轴光学系统对球面波的变换。在图A-1中，光学系统由矩阵表示，RP1为进入光学系统的入射平面，RP2为离开光学系统的平面。
定义物平面坐标为，像平面坐标为。按照线性系统理论，若忽略光学系统的像差，只要能求出这个系统的脉冲响应或点扩散函数，便能计算任意物光场的像。以下研究物平面处的单位振幅点光源通过光学系统后的响应。点光源通过光学系统后在xy平面的光波场可由菲涅耳衍射积分表出。
现在来研究这样一个问题：如果将入射平面视为光学系统的孔径光阑平面，将相干光通过光学系统的衍射视为像空间中的光束通过系统出射光瞳的衍射时，在后续空间观测平面上的光波场表达式会是怎样的形式？
图A-4为所研究问题的示意图，图中，由矩阵描述的光学系统位于输入平面RP1及输出平面RP2之间。平面RP1到参考平面RP构成一个傍轴成像系统，即RP上的光波场是入射平面RP1的光波场U1(x1,y1)的像，该子系统的变换矩阵元素由小写的a、b、c、d给出。现研究RP上的光波场向后续空间衍射了距离zi之后，到达观察平面RP2上的光波场U2(x2,y2)。
预告：第十三篇 反射式离轴系统的相干光成像及“振铃震荡”计算
顾德门教授的《傅里叶光学导论》是影响着国内外几代光学工作者的近代光学名著。作者1984年赴法国里昂应用科技学院（INSA de LYON）进修一年时，有幸带上该书第1版中文译本，基于书中学到的相干光成像理论及菲涅耳衍射积分，对作者提出的一种叠像式激光强度变换光学系统进行了理论分析，通过光波通过矩形孔衍射时的直边衍射条纹及成像时像边界产生的“振铃震荡”的定量研究，理论上证明了光学系统的可行性。
由于光学系统具有重要的工业应用前景，研究论文1986年发表后， 1988年作者应邀再次赴法，不但通过实验证明了理论研究，而且重新研制了更适用的光学系统，并将光学系统用于提高汽车零件激光热处理质量的实际研究，取得很好的成果。
计算成像是目前的热门研究课题，由于成像的理论研究通常是采用傍轴透镜成像系统为研究对象展开的，对于相干光成像时的“振铃震荡”现象目前尚未进行定量分析。下文通过虚拟人物肖教授向两位年轻人讲故事的形式，对该叠像式光学系统的工作原理进行简要介绍，阐述如何应用《傅里叶光学导论》中的标量衍射理论及相干光成像公式，讨论反射式离轴系统的成像及“振铃震荡”的计算问题。
作者简介
李俊昌，1945年生，汉族，昆明人，昆明理工大学物理光学二级教授。享受国务院特殊津贴、全国优秀教师、云南省优秀工作者、《中国激光》杂志常务编委（2008-2018）、云南书画院研究员、云南美术家协会会员。1968年毕业于云南大学物理系，1980年从工厂调入昆明理工大学任教至今。作为客座教授，先后在法国里昂应用科技学院、法国里昂中央理工大学、法国巴黎高等工业大学、法国国家科研中心及法国缅茵大学合作科研或指导博士生。几十年来，在法国巴黎光学院等多所知名大学及国内中国科学院研究生院、清华大学、国防科技大学、西北工业大学、北京邮电大学、北京理工大学、北京工业大学、四川大学、成都光电所、上海光机所、香港城市大学及台湾师范大学等数十个知名科研院所进行过多次专题学术讲座。在物理光学领域的主要研究成果是修改了国内外50多年来一成不变的相干光成像近似理论。第一作者在国内外著名学术期刊发表SCI及EI索引的科学研究论文60余篇，出版中、英、法文科学专著六部：1、《激光热处理优化控制研究》（冶金工业出版社1995年）；2、《激光的衍射及热作用计算》（科学出版社2002年第一版，2007年修订版）；3、《信息光学理论与计算》（科学出版社2009年）；4、《信息光学教程》（科学出版社2011第一版，2017年第二版）；5、法文专著《数字全息》Holographie numérique（法国巴黎：HERMES科技出版社2012年）；6、《衍射计算及数字全息》（科学出版社2014年中文版，2016年英文版）。自幼爱好书画，上世纪70-80年代，美术作品多次参加云南省美展，在报刊杂志出版过多种连环画。改革开放后主要从事科研及教学，但美术作品2019年及2021年入选云南省美展。
